C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.3 Relação de Ordem.

Axioma 1.1.

De existência.

No conjunto R, existe um subconjunto denotado R+, chamado, “conjunto dos números reais positivos”, que satisfaz o seguinte:

i) Todo número real a satisfaz uma e somente uma das seguintes condições:

a .

R+ , ¡a .

R+ , ou a =0

ii) Se a .

R+ e b .

R+, então a + b .

R+ e a
· b .

R+ .

Definição 1.2.

Sejam a, b .

R, diz-se que “a é menor que b” e se escreve a<b, somente quando (b¡a) .

R+ .

Desta definição temos que a .

R+ se, e somente se, (a - 0) .

R+, logo 0 <a.

Observação 1.1.

i) Se a<b, podemos escrever b>a, e se lê “b é maior que a”.

ii) Diz-se que “a é menor ou igual que b” e se escreve a = b se e somente se a<b ou a = b.

iii) R+ = { a .

R=.

0 <a} = fa .

R=.

a> 0g.

iv) a .

R+ se, e somente se, 0 <a, também podemos escrever a> 0.

Propriedade 1.3.

Para todo número real a;b, c, d tem-se:

1.

a = b ou a<b ou a>b .

.

.

.

tricotomia 22

2.

a= 0, .

a .

R a> 0 se a 6
.

.

.

.

positividade = 0)

3.

Se a<b e b<c , então a<c .

.

.

.transitiva 4.

Se a<b , então a + c<b + c .

c .

R .

.

.

.monotonia na soma 5.

Se a<b e c<d então a + c<b + d 6.

Se a<b e c> 0 , então a:c < b:c .

.

.

.

.

monotonia no produto 7.

Se a<b e c< 0, então a:c > b:c.

8.

Se a<b , então ¡a> ¡b.

¡1 ¡1

9.

Se a> 0 , então a> 0 (Se a< 0, então a< 0) 10.

Se 0 <a<b então a¡1 >b¡1 > 0 (Se a<b< 0 então 0 >a¡1 >b¡1) 11.

ab = 0 se e somente se (a = 0 e b = 0) ou (a = 0 e b = 0)
Christian Quintana Pinedo

12.

ab = 0 se e somente se (a = 0 e b = 0) ou (a = 0 e b = 0) 13.

Se a = 0 e b = 0; a = b se e somente se a2 = b2 .

14.

a2 + b2 =0 se e somente se a =0 e b =0.

pv

15.

Se a2 = b , então -b = a = b pv

2

16.

a= b , então a = b ou a
·- b Demonstração.

(1)

Sejam a, b .

R.

Então, a - b .

R, pelo Axioma (1.1)-(i), temos que uma e somente uma das seguintes condições se cumpre:

a - b .

R+ ou ¡(a - b) .

R+ ou a - b =0.

Então, a - b> 0 ou b - a> 0 ou a = b, isto é, a>b ou b>a ou a = b.

Em particular, se a .

R, então a> 0 ou a< 0 ou a =0.

.

Demonstração.

(2) Se a .

R então a =0 ou a 6

=0.

a =0 .

a 2 =0 (1.3)

2

Se a 6ou ¡a .

R+, logo a

=0 , então a .

R+ = a:a .

R+ ou

2

a 2 =(¡a)(¡a) .

R+ .

a> 0 (1.4)

De (1.3) e (1.4) segue que a2 = 0.

.

Demonstração.

(6)

Se a<b e c> 0 então b - a .

R+ e como c .

R+, logo c(b - a) .

R+ .

Assim, (bc - ac) .

R+, logo (bc - ac) > 0, então bc > ac ou ac < bc.

.

Demonstração.

(9)

¡1

Seja a> 0 , então existe a¡1 e pelo Axioma (1.1) tem-se a¡1 > 0 ou a< 0 ou a¡1 =0.

Este

¡1

último caso a¡1 =0 é impossível, pois teríamos que a:a= a:0=0 o que levaria à igualdade 1=0 que é um absurdo.

Se a:a¡1 < 0, então pela propriedade da monotonia do produto resulta:

a¡1:a < 0:a , então 1 < 0, que é um absurdo.

¡1

Assim, resulta que se a> 0, então a> 0.

.

Demonstração.

(11) Pela Propriedade (1.1)-(10), se ab > 0 então a 66Portanto quando a> 0 tem-se

=0 e b =0.

¡1

a> 0.

Assim b = a¡1(a:b) > 0.

¡1

Analogamente, se a< 0 então a< 0 e b = a¡1(a:b) < 0.

Portanto, se a:b > 0 então (a< 0 e b< 0) ou (a> 0 e b> 0) .

As demais propriedades são exercícios para o leitor.

Cálculo Diferencial em R 13

Definição 1.3.

Uma equação é uma expressão algébrica que contém símbolo de igualdade.

v

São exemplos de equações:

x +7 = 3; x2 - 5= x;2x - 5= x4 - 6x.

No que segue, entenderemos que “resolver uma equação E(x)=0”, onde E(x) é uma expressão algébrica, significa determinar números x = a .

R de modo que a igualdade E(a)=0 seja verdadeira.

Por exemplo, ao resolver a equação 4x - 8=0 obtemos x =2, pois 4(2) - 8=0.

Por outro

2

lado ao resolver a equação x2 +9 = 0 obtemos que x= ¡9 , a qual não tem solução em R.

Lembre-se que x2 = 0 .

x .

R.

Observação 1.2.

2

Sejam a, b .

R tais que b> 0.

Se a= b diz-se que:

“a é raíz quadrada de b” e denota-se

v

a = b.

v

Por exemplo 4=2 ou ¡2, pois 22 =(¡2)2 =4.

pv

No que segue entenderemos b como a raíz quadrada positiva e -b como a raíz quadrada

pv

negativa.

Assim, 4=2 e-4= ¡2.

2

Se b< 0, pela Propriedade (1.3)-(2) não existe a .

R tal que a= b.

Portanto em R não existe raíz quadrada de números negativos.

Propriedade 1.4.

Fórmula de Bhaskara.4 .

Sejam a, b, c .

R , onde a 6ax2 + bx + c =0, é dada pela

=0, então a solução da equação:

expressão:

v ¡b ± b2 - 4ac

x =

2a

Demonstração.

2

Dividindo a equação ax2 + bx + c =0 por a =0 6resulta a expressão x +( b )x + c =0.

aa bcb b .

b ¶2 cb

Completando quadrados x 2 +2 x ++( )2 =( )2 temos x += - ()2 =

2aa 2a 2a 2aa 2a b2 - 4ac 2

4av ¡b ± b2 - 4ac

Obtendo a raíz quadrada resulta:

x =

2a

Exemplo 1.6.

Resolver a seguintes equações:

a) 3x +2 = 14 - x b) x2 - 2x - 3=0

c) x4 - 13x2 +12 = 0 d) x3 - 3x2 + x +2=0 Solução.

(a)

3x +2 = 14 - x, então (3x + 2) + x = (14 - x)+ x, logo (3x + x)+2 = 14, então 4x +2 = 14.

14 - 2

Pela Propriedade (1.2) -(6) vem que x = , logo x =3 é solução da equação.

¤

4

4Bhaskara Acharya (l114 -l185), nascido na Índia.

Foi ele quem preencheu algumas lacunas na obra de Brahmagupta dando uma solução geral da equação de Pell e considerando o problema da divisão por zero.

14 Christian Quintana Pinedo

Solução.

(b)

x2 - 2x - 3=0, então (x + 1)(x - 3) = 0, pela Propriedade (1.1)-(10) segue que x = ¡1 ou x =3.

De outro modo, completando quadrados x2 - 2x - 3=0 então x2 - 2x +1 - 3=0+1 isto é x2 - 2x +1 = 4, logo (x - 1)2 =4.

Dadefiniçãoderaízquadradax-1=2oux-1=-2.

Portanto x =3 ou x = ¡1 é solução da equação.

.

Solução.

(c)

x4 - 13x2 +12 = 0 então (x2 - 12)(x2 - 1) = 0, assim temos que x2 - 12 = 0 ou x2 - 1=0.

De x2 - 1=0 segue que (x - 1)(x +1) = 0 , então x = ¡1 ou x =1 é solução.

De x2 - 12 = 0

pv pv

segue que (x - 12)(x + 12)=0 e x = - 12 ou x = 12 é solução.

pv

Portanto, x = ¡1;x =1;x = - 12 ou x = 12 são soluções da equação.

.

Solução.(d)

x3 ¡3x2 +x+2 = 0, escrevendo na forma de fatores x3 ¡3x2 +x+2 = (x¡2)(x2 ¡x¡1) = 0, então x - 2=0 ou x2 - x - 1=0, completando quadrados a esta última igualdade resulta:

15
(x - )2 = :

24pv

15 1515

De x¡2=0 segue que x =2 é solução; de (x- )2 = segue que x =+ ou x = ¡

24 2222

é solução.

pv

15 15

Portanto, x =2;x =+ ou x = - é solução da equação.

22 22

Exemplo 1.7.

Determinar o menor número positivo M de modo que, para todo número real x, aconteça 6x - x2 = M.

Solução.

De 6x¡x2 = M completando quadrados temos que 32¡32+6x¡x2 = M.

Assim 9¡(x¡3)2 =

M.

Quando x =3 teremos que o menor número positivo é M =9.

Observe que, quando M> 9 também satisfaz as condições da desigualdade.

Definição 1.4.

Parte inteira.

A parte inteira de um número real x denotada por [jxj] é o maior número inteiro que não ultrapassa x.

Desta definição resulta que o número [jxj] é único, e sempre [jxj] <x.

Por outro lado, como [jxj] é o maior inteiro que cumpre esta desigualdade, e temos que x< [jxj]+1.

Portanto, [jxj] é

o número inteiro que cumpre as desigualdades:

[jxj] = x< [jxj]+1 ou (x - 1) < [jxj] = x.

Exemplo 1.8.

p

17

Das desigualdades:

3 <¼< 4, 5 << 6, ¡2 < - 2 < ¡1 e 5=5 < 6 resulta que

3

v [j¼j]=3, h.

=5, [j- 2j]= ¡2 e [j5j]=5..
¯¯¯
3 .
¯¯¯

17

Propriedade 1.5.

Seja x um número real:

Cálculo Diferencial em R

Propriedade 1.6.

Princípio de Arquímedes5 .

Se a> 0 e b> 0 são números reais, então existe um inteiro positivo n tal que a
· n>b

Demonstração.

1 b

Se a> 0, então > 0, sendo b> 0 temos que > 0.

aa

bb

Definimos o número n = h.
¯¯¯
1+ i; isto é a parte inteira do número real (1+ ).

Da Definição

Portanto, a
· n>b.

Exemplo 1.10.

Sejam a, b .

R+, tais que a
· b =1.

Mostre que a + b = 2.

Solução.

Da hipótese a:b =1 tem-se que 0 <a = 1 e 1 = b, então 0 = (1 - a) e 0 = (b - 1) .

0 = (1 - a)(b - 1) = b - 1 - a:b + a = b - 1 - 1+ a.

Portanto, a + b = 2.

.

5Arquimedes (287 - 212 a:C:), chamado “o maior intelecto da antiguidade”, foi um dos primeiros fundadores do método científico.

Observação 1.3.

É importante lembrar algumas propriedades básicas de números reais:

i) a0 =1 somente se a =06
; caso a =0 a expressão 00 não existe.

aa

ii) .

R, somente se b 6=0; caso b =0 então não existe.

b 0

v pv

iii) a:b = a.

b desde que a e b sejam positivos, suponha a = ¡1 e b = ¡1, então 1=

pp

p(¡1)(¡1) = ¡1 ¡1 não existe em R.

iv) A expressão +8 é a idéia de um número positivo o maior de todos, porém (+1) -(+1)=

+1

?, ou = ? são formas indeterminadas.

Não se deve operar com os símbolos +1, ¡1,

+8

como se fossem números, pois não o são.

Exemplo 1.11.

Em ambas as margens de um rio crescem palmeiras, uma em frente a outra.

A altura de uma é de 30 m, e da outra é 20 m.

A distância entre seus troncos é de 50 m.

Na copa de cada palmeira descansa um pássaro, de súbito os dois pássaros avistam um peixe que aparece na superfície da água, entre as duas palmeiras.

Os pássaros voarão e alcançaram

o peixe ao mesmo tempo.

Supondo a mesma velocidade; a que distância do tronco da palmeira menor apareceu o peixe? Solução.

Suponhamos que o peixe apareceu a uma @

@

distância de x metros do pé da palmeira menor

Figura (1.4), então pelo teorema de Pitágoras:

Portanto, o peixe apareceu a uma distância de 30 m da palmeira menor.

.

Exemplo 1.12.

Mostre a desigualdade x = :

Solução.

Suponhamos y =
·
· ¢¢· , desde que:

resulta que x<y logo, x<xy = ::.

Cálculo Diferencial em R 17

Extraindo a raíz quadrada de ambos os membros desta última desigualdade tem-se x<

Exemplo 1.13.

Queremos construir uma caixa de papelão de 10 cm altura, sendo a base um retângulo de largura 10 cm menos que seu comprimento.

Se o volume da caixa deve ser de 6000 cm3, quais as dimensões da caixa que suporta maior volume? Solução.

Suponhamos que o comprimento seja xcm.

Então segundo os dados do problema temos

uma caixa como na Figura (1.5).

Logo 10x(x - 10) = 6000 .

x(x - 10)= 10

x - 10 600 .

x2 - 10x - 600 = 0.

x

Pela Propriedade (1.4):

10 ± p102 - 4(¡600)

x = =5 ± 25 Figura 1.5:

2

Portanto x = 30, e as dimensões da caixa são:

altura 10 cm, e comprimento da base 30 cm e largura da base 20 cm.

.

Exemplo 1.14.

Determine a parte inteira do número:

x =1+ v + v + v + v .

Solução.

Observe, calculando as raízes por falta e por excesso em menos de 0, 1 obtemos as desigualdades:

2 3 45 Somando estas desigualdades, encontramos que 1+0:7+0:5+0:5+0:4 <x< 1+0:8+0:6+

0:5+0:5 isto é 3, 1 <x< 3, 4.

Logo [jxj]=3.

.

Exemplo 1.15.

Decompor o número 60 em duas partes de modo que o produto de ambas as partes seja o maior possível.

Solução.

Consideremos os números x e 60 - x, observe que a adição de esses números é 60.

Seu produto é:

P = x(60 - x) = 60x - x2 = 302 - 302 + 2(30)x - x2 = 302 - (30 - x)2 .

Para que o produto seja o maior possível tem que acontecer que x = 30.

logo os números são:

30 e 60 - 30.

Isto é 30 e 30.

Exemplo 1.16.

Sabe-se que a média geométrica de n números, é sempre menor ou igual à sua média aritmética.

De todos os paralelepípedos com soma fixa de suas três arestas reciprocamente perpendiculares, determine o paralelepípedo de volume máximo.

Solução.

Seja m

v 3

= a + b + c a soma das arestas do paralelepípedo.

Logo seu volume é V = abc.

v

a + b + cm

Aplicando a propriedade da média geométrica segue que

O volume será máximo somente quando V = e isto acontece somente se a = b = c = .

Portanto o paralelepípedo é o cubo.

Exemplo 1.17.

Mostre que, se ai > 0 i =1, 2, 3, ¢¢· ;n então:

Solução.

Pela propriedade da média geométrica temos que:

n logo multiplicando por n segue que:

Da desigualdade deduz-se que:

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 1-2

1. Mostre que, se 0 <a< 1 então a2 <a.

2. Mostre que, a>b = 0 então a2 >b2 onde a, b .R.

3. Mostre que, se a, b> 0 e a2 >b2 então a>b.

4. Mostre que, se a e b tem o mesmo sinal e b>a então a¡1 >b¡1 .

5. Dados os números reais a e b, mostre que 2ab = a2 + b2 .

6. Mostre que, se a> 0 então (a +) = 2.

7. Mostre que, se a+b+c =1 onde, a> 0;b> 0;c> 0, então temos que, (1¡a)(1¡b)(1¡c) = 8abc.

8. Mostre que:

Se 0 <a<b, então a = ab
·= b .

9. Mostre que:

ab = quando a, b> 0.

10. Mostre que, quando a, b;c;d .

R, então a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd.

11. Mostre que:

a 3 + >a2 + se a> 1.

12. Mostre que, se a, b, c> 0 então ++ >a + b + c.

13. Determinar o menor número positivo M de modo que, para todo número real x, tenha-se 2x - x2 = M.

14. Determinar o maior número positivo M de modo que, para todo número real x, tenha-se M = x2 + 16x.

15. Sejam a e b positivos, mostre que + = + .

16. Demonstrar que, se a e b são números inteiros positivos então = .

17. Mostre que, se x3 + y3 + z3 = 81, x> 0;y> 0;z> 0, então xyz = 27.

18. Mostre a desigualdade:

19. Resolver em R:

20. Mostre que se ab = 0, então ab = min :fa2;b2g.

21. Mostre que a média geométrica de n números positivos não ultrapassa a média aritmética destes mesmos n números.

20. Christian Quintana Pinedo

22. Determine todos os valores reais de r para os quais o polinômio:

(r2 - 1)x2 + 2(r - 1)x +1, seja positivo para todo x .

23. A receita da venda de q unidades de um produto é R = 240q e o custo de produção de q unidades é C = 190q + 1500.

Para que haja lucro, a receita de vendas há de ser maior que o custo.

Para que valores de q este produto dará lucro?.

24. Além do custo administrativo fixo, (diário) de R$350, 00 o custo de produção de q unidades de certo produto é de R$5, 50 por unidade.

Durante o mês de março, o custo total da produção variou entre o máximo de R$3:210 e o mínimo de R$1:604 por dia.

Determine os níveis de produção máximo e mínimo por mês.

25. Estabeleça para que valores reais de x a área de um círculo de raio x:

a) é maior que 400p cm2 b) não é superior a 400p cm2 .

26. Uma piscina infantil deve ter 1 m de altura e o formato de um bloco retangular.

O seu comprimento precisa superar à largura em 0, 2 m.

Com quanto de largura essa piscina comportará mais de 2000:000 litros? (Lembrete: 1 m3 =1:000 litros).

27. Sabe-se que sobre certas condições o número de bactérias que contém o leite se duplica a cada 3 horas.

Calcular o número pelo qual é necessário multiplicar a quantidade de bactérias do inicio, para obter o número de bactérias ao final de 1 dia.

28. Os alunos da UFT, organizaram uma rifa somente para alunos.

Dos quais 45 compraram 2 números, e o total de alunos que compraram um número era 20% do número dos rifas vendidas, 80 não compraram número nenhum e outros compraram 3 números.

Se o total de rifas vendidas excedeu em 33 ao número de alunos, diga quantos alunos compraram somente um número da rifa.

29. Em uma fazenda, existia um número de cabeças de gados.

Depois de duplicar esse número, foi roubado 1 cabeça sobrando mais de 54.

Meses depois observou-se que triplicou o número de cabeças de gado que existia no início e foram roubadas 5 restando menos de 80.

Quantas cabeças de gado existiam no início?

30. A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 anos.

A média aritmética das idades dos médicos é 35 anos e a dos advogados é 50 anos.

Pode-se, então, afirmar que:

31. Uma pessoa compra um apartamento por R$10:000, 00 em seguida o aluga.

Deixando 11
12% da renda anual para reparações e manutenção, pagando R$325, 00 de IPTU e 5%

22

descontando por conta de investimento.

Qual é a renda mensal?

32. A soma das idades de três pessoas é 96.

A maior tem 32 anos mais que a menor e a do meio 16 anos menos que a maior.

Calcular a idade de cada uma das pessoas.

33. Eu tenho a idade que tu tinhas, quando eu tinha a metade da idade que tu tens.

A soma de nossas idades hoje é igual a 35 anos.

Qual a minha e a tua idade?
Cálculo Diferencial em R 21